BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

A.  Bentuk Pangkat

1.      Pangkat Bulat Positif

Apabila n adalah sebuah pangkat bulat positif, maka aⁿ adalah menyatakan perkalian n faktor yang tiap-tiap faktor adalah a, a adalah suatu bilangan nyata. Dalam aⁿ dapat dibaca “pangkat ke n dari a” atau “a pangkat n”. Maka aⁿ = a x a x a x ...x a

Sifat-sifat dari bilangan berpangkat bulat positif adalah :

a.       aⁿ x a^m = a^n+m

b.      aⁿ : a^m = a^n-m

c.       (aⁿ)^m = aⁿ x m

d.      (a x b)ⁿ = aⁿ x bⁿ

e.       (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

2.      Pangkat Nol

Untuk a sembarang bilangan nyata dan a ≠ 0 berlaku : 1 = (aⁿ)/ (aⁿ) = a^n-n = a⁰.

Dari sini dapat didefinisikan : a⁰ = 1 untuk sembarang a ≠ 0.

3.      Pangkat Negatif

Untuk a sembarang bilangan nyata dan a ≠ 0 berlaku :

a ^-n = a ^-n x  (aⁿ)/ (aⁿ) = (a^-n x aⁿ)/ aⁿ = a⁰/aⁿ = 1/aⁿ

jadi, dapat didefinisikan : a ^-n = 1/aⁿ

B.  Bentuk Akar

Apabila n adalah bilangan bilat positif  dan apabila a dan b sedemikian rupa sehingga aⁿ = b maka a dikatakan akar n dari b.

Bilangan berpangkat secara umum didefinisikan  : bⁿ = a ⇔ b = ⁿ√a

Berikut ini hal-hal yang perlu diperhatikan dalam penarikan akar :

a.       Jika a > 0, maka ⁿ√a > 0

b.      Jika a < 0 dan n ganjil, maka ⁿ√a < 0

c.       Jika a < 0 dan n genap, maka ⁿ√a tidak ada nilainya

Bentuk ⁿ√a disebut bentuk akar apabila n bulat positif. Bentuk akar dapat dilambangkan dalam bentuk pangkat pecahan. Adapun hubungan bentuk akar dengan pangkat pecahan adalah :

a^1/n = ⁿ√a

dengan a bilangan nyata (positif untuk n genap) dan n bilangan asli

Sifat-sifat pada bilangan berpangkat bulat positif berlaku pula pada bentuk pangkat rasional adalah sebagai berikut :

dengan a dan b bilangan nyata, m dan n bilangan rasional

a.       a^m x aⁿ =  a^m+n

b.      a^m : aⁿ = a^m-n

c.       (a^m)ⁿ = a^{m x n}

d.      (ab)^m = a^m x b^m

e.       (a/b)^m = a^m/b^m, b ≠ 0

v Sifat-sifat yang digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar

1)      ⁿ√a x ⁿ√b = ⁿ√(ab)

2)      ^m√a x ⁿ√a = ^mn√a^m+n

3)      ⁿ√(a/b) =( ⁿ√a)/ (ⁿ√b)

4)      ^m√a: ⁿ√a = ^mn√a^n-m

5)      ( ⁿ√a)ⁿ = a

6)      (ⁿ√a)^p =ⁿ√a^p

7)      ⁿ√(^m√a) = ^mn√a

8)      ⁿ√a^m = ^np√a^mp

v Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar

Cara merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan bentuk akar sekawan  dari penyebut.

a)      Bentuk a/√b® pembilang dan penyebut dikalikan dengan √b.

b)      Bentuk c/ (a+√b) ® pembilang dan penyebut dikalikan dengan akar sekawan penyebut , yaitu a - √b.

c)      Bentuk c/ (√a+√b) ® pembilang dan penyebut dikalikan dengan akar sekawan penyebut, yaitu  √a-√b.

C.  Logaritma

Logaritma merupakan kebalikan dari operasi perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

Definisi logaritma :

Untuk a dan b positif serta a ≠  1 berlaku aⁿ = b ⇔ ^alog b = n

   Sifat-sifat logaritma antara lain :

a.       ^alog 1 = 0, a > 0, a ≠ 1

b.      ^alog a = 1

c.       a ^{alog y} = y, a > 0, a ≠ 1, y > 0

d.      ^alog x + ^alog y = ^alog xy

e.       ^alog x – ^alog y = ^alog

f.       ^alog xⁿ = n ^alog x

g.      ^alog x =^plog x/^plog a =1/^xlog a

h.      ^alog x . ^xlog y = ^alog y

i.        ^anlog x^m = m/n ^alog x