Logika Matematika

LOGIKA MATEMATIKA

Logika matematika adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari tentang pola pikir yang tepat dan logis dalam menarik suatu kesimpulan.

A.  Pernyataan

Adalah kalimat yang menyatakan benar atau salah saja tetapi bukan keduanya.

Contoh :

1.    P =Jakarta ibukota Indonesia              bernilai B

2.    q =2 + 3 = 6                                         bernilai S

B.  Kalimat Terbuka

Adalah kalimat yang memuat variabel dan menjadi pernyataan jika variabel tersebut diganti konstanta dalam himpunan semestanya.

Contoh :

1.      x + 5 = 10, x ∈ N

Himpunan Penyelesaiannya

x + 5 = 10

        x = 10 – 5

        x = 5                              P bernilai B

       x ≠ -5                               P bernilai S

2.      2x – 3 < 9, x ∈  R

Himpunan Penyelesaiannya

2x – 3 < 9

      2x < 9 + 3

      2x < 12

        x < 6                               P bernilai B

        x ≥ 6                               P bernilai S

C.  Ingkaran atau Negasi suatu Pernyataan

Adalah pernyataan yang menyangkal pernyataan yang diberikan dan nilai kebenarannya kebalikan dari nilai kebenaran pernyataan semula.

a.       Biasanya dengan menambah kata “tidak benar bahwa” atau “tidak” atau “bukan”

b.      Ingkaran dari P ditulis ~P

Contoh : p : Pekerjaan Wisnu adalah dokter

~p : Tidak benar bahwa pekerjaan Wisnu adalah dokter

     : Pekerjaan Wisnu adalah bukan dokter

D.  Kalimat Majemuk

Adalah kalimat yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal yang dirangkai dengan kata hubung logika.

1.      Konjungsi

Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan “p∧q” dengan kata hubung “dan”. Nilai kebenaran dari konjungsi p∧q adalah “BENAR” jika keduanya  “BENAR”.

Catatan : kata-kata tetapi, walaupun, hanya saja yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari mempunyai arti sama dengan “dan” pada logika matematika.

2.      Disjungsi

Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan “p ∨ q” dengan kata hubung “atau”. Nilai kebenaran dari disjungsi p ∨ q adalah “SALAH”, jika keduanya “SALAH”.

a.       Disjungsi Inklusif (∨)

Disjungsi inklusif bernilai benar bila kedua penyataan benar atau hanya salah satu pernyataan yang benar.

b.      Disjungsi Eksklusif (⊻)

Disjungsi eksklusif bernilai benar bila salah satu pernyataan saja benar karena tidak mungkin keduanya benar.

3.      Implikasi

Implikasi p dan q dilambangkan dengan “p ⇒ q” dan digabungkan dengan kata hubung “jika ... maka ...”.

p = anteseden, hipotesis, sebab

q = konsekuen, konklusi, kesimpulan

Nilai kebenaran dari implikasi p ⇒ q adalah “SALAH” jika p= BENAR, q= SALAH.

4.      Biimplikasi

Biimplikasi p dan q dilambangkan dengan “p ⇔ q” dan digabungkan dengan kata hubung “... jika dan hanya jika ...”. Nilai kebenaran dari biimplikasi p ⇔ q adalah “BENAR” jika keduanya “BENAR” atau keduanya “SALAH”

E.   Equvalensi, Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi

1.      Equivalensi

Adalah dua pernyataan majemuk A dan B dikatakan equivalen atau setara dalam logika, jika memiliki kebenaran yang sama, dinotasikan A @ B

2.      Tautologi

Adalah suatu pernyataan majemuk dengan nilai kebenaran selalu “BENAR”

3.      Kontradiksi

Adalah suatu pernyataan majemuk dengan nilai kebenaran selalu “SALAH”

4.      Kontingensi

Adalah suatu pernyataan majemuk dengan nilai kebenaran “BENAR” dan “SALAH”

F.   Negasi Pernyataan Majemuk

1.      ~ (p ∧ q) @ ~p ∨ ~q

2.      ~ (p ∨ q) @ ~p ∧ ~q

3.      ~ (p ⇒ q) @ p ∧ ~q

4.      ~ (p ⇔ q) @ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)

G.  Konvers, Invers, dan Kontraposisi

v Dari implikasi p ⇒ q dapat dibentuk implikasi-implikasi yang lain sebagai berikut

a.       q ⇒ p disebut konvers dari p ⇒ q

b.      ~p ⇒ ~q disebut invers dari p ⇒ q

c.       ~q ⇒ ~p disebut kontraposisi dari p ⇒ q

v Kesimpulan

ü  Implikasi @ kontraposisi                        ((p ⇒ q) @ (~q ⇒ ~p))

ü  Konvers @ Invers                                   ((q ⇒ p) @ (~p ⇒ ~q))

H.  Pernyataan Berkuantor

1.      Kuantor Universal (∀)

Dibaca : semua, seluruh, setiap, tanpa kecuali.

Contoh : a. Semua kucing berbunyi meow

b.    Setiap mahasiswa lahir mempunyai ibu

Notasi

                        ∀x ' P(x) dibaca semua x sedemikian hingga P(x)

2.      Kuantor Eksistensial (∃)

Dibaca : ada, beberapa, terdapat, diantara.

Contoh : a) Ada rumah yang tidak mempunyai jendela

               b) beberapa presiden adalah wanita

Notasi

             ∃x ' P(x) dibaca ada x sedemikian hingga P(x)

3.      Negasi Pernyataan Kuantor

~ (∀x ' P(x)) @ ∃x ' ~P(x)

~ (∃x ' P(x)) @ ∀x ' ~P(x)